Cálculo Exemplos

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Etapa 2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{2} - 3 y + 3$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ por $y^{2} - 3 y + 3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ por $y^{2} - 3 y + 3$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} - 3 y + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y - 1 = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = x y^{2} + x (- 3 y) + x \cdot 3$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + x \cdot 3$

Etapa 3.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 \cdot x$

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 x$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x = y - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y = - 1$

Etapa 4.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y + 1 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = x$ , $b = - 3 x - 1$ e $c = 3 x + 1$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 3 x - 1) \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (3 x + 1))}}{2 x}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.4

Reescreva ${(- 3 x - 1)}^{2}$ como $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.5

Expanda $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.6.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.6.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.10.1.1

Mova $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.6.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.6.10.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.6.11

Subtraia $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.6.12

Subtraia $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.13

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.13.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.13.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.13.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.13.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.13.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.13.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.6.13.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.6.13.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.7

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.4

Reescreva ${(- 3 x - 1)}^{2}$ como $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.5

Expanda $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.6.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.10.1.1

Mova $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.10.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.11

Subtraia $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.12

Subtraia $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.13.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.13.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.13.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.1.13.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.8.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Etapa 4.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Defina $- 3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Defina $- 3 x - 1$ como igual a $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Resolva $- 3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 3 x = 1$

Etapa 6.2.2.2

Divida cada termo em $- 3 x = 1$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Etapa 6.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Etapa 6.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 3}$

Etapa 6.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 6.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$(- 3 \cdot - 3 - 1) ((- 3) - 1) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $- 32$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(- 3 \cdot 0 - 1) ((0) - 1) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(- 3 \cdot 4 - 1) ((4) - 1) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $- 39$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq 1$

Etapa 7

Defina o denominador em $\frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Etapa 12