Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = - 64$

Some $64$ aos dois lados da equação.

$x^{3} + 64 = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Defina $x^{2} - 4 x + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} - 4 x + 16$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Resolva $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 16$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6