Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Etapa 1

Reescreva a equação como $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ .

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Etapa 2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ e $c = x^{2} + 46 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Reescreva ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.2

Expanda $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.4

Multiplique $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.5

Multiplique $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.1.6

Multiplique $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3.2

Subtraia $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Fatore $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Fatore $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.3

Fatore $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.1.3.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.2

Subtraia $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.3

Some $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8.4

Subtraia $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Reescreva ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.2

Expanda $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.4

Multiplique $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.5

Multiplique $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.1.6

Multiplique $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5.3.2

Subtraia $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6

Fatore $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.6.1

Fatore $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.2

Fatore $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.3

Fatore $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.1.3.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.2

Subtraia $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.3

Some $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.8.4

Subtraia $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6.4.2

Fatore $2$ de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6.4.3

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 6.4.4

Fatore $2$ de $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Etapa 6.4.5

Fatore $2$ de $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Etapa 6.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Etapa 6.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Etapa 6.4.6.4

Divida $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ por $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.1

Reescreva ${(- 8 x + 180)}^{2}$ como $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.2

Expanda $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.4

Multiplique $180$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.5

Multiplique $- 8$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.1.6

Multiplique $180$ por $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5.3.2

Subtraia $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6

Fatore $4$ de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1

Fatore $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.2

Fatore $4$ de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.3

Fatore $4$ de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 46 - x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.1.3.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.2

Subtraia $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.3

Some $- 720 x$ e $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.8.4

Subtraia $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 7.4.2

Fatore $2$ de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 7.4.3

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Etapa 7.4.4

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Etapa 7.4.5

Fatore $2$ de $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Etapa 7.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Etapa 7.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Etapa 7.4.6.4

Divida $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ por $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Etapa 9

Defina o radicando em $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Etapa 10

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Etapa 10.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.3

Substitua os valores $a = 15$ , $b = - 719$ e $c = 8054$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Eleve $- 719$ à potência de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.4.1.3

Subtraia $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Eleve $- 719$ à potência de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.5.1.2.2

Multiplique $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.5.1.3

Subtraia $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1.1

Eleve $- 719$ à potência de $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.6.1.2.2

Multiplique $- 60$ por $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.6.1.3

Subtraia $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Etapa 10.6.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.7

Consolide as soluções.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 10.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Etapa 10.9.1.3

O lado esquerdo $8054$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 20$

Etapa 10.9.2.2

Substitua $x$ por $20$ na desigualdade original.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Etapa 10.9.2.3

O lado esquerdo $- 326$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 33$

Etapa 10.9.3.2

Substitua $x$ por $33$ na desigualdade original.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Etapa 10.9.3.3

O lado esquerdo $662$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Verdadeiro

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Verdadeiro

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Verdadeiro

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falso

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Verdadeiro

Etapa 10.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ ou $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Etapa 11

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Etapa 12

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Etapa 13

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Intervalo: $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Etapa 14