Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

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Etapa 3.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (2 y - 1) = 2 x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Etapa 3.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $2 y = e^{2 x} + 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $2 y = e^{2 x} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.4

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $2 x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 5.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Etapa 5.3.4.2

Some $e^{2 x}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Etapa 5.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $2 x$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Etapa 5.3.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Etapa 5.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.8.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Etapa 5.3.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$