Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ , $(- 3, - 2)$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 3, - 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} + 4 x + 2 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 \int_{- 3}^{- 2} x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2}$ e $2 x]_{- 3}^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $- 2$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ em $- 2$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.5

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.7.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.7.2

Subtraia $9$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{- 5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (- \frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 4 (\frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.10

Combine $- 4$ e $\frac{5}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 4 \cdot 5}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.11

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 20}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.12

Cancele o fator comum de $- 20$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.12.1

Fatore $2$ de $- 20$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10}{1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.12.2.4

Divida $- 10$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.13

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot - 8 + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.16

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.17

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.18

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.20.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.20.2

Subtraia $12$ de $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.22

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.23

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 27}{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.24

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.24.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.24.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.24.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.24.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.24.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 9}{1} + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.24.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 + 2 \cdot - 3))$

Etapa 11.2.3.25

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 - 6))$

Etapa 11.2.3.26

Subtraia $6$ de $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

Etapa 11.2.3.27

Multiplique $- 1$ por $- 15$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

Etapa 11.2.3.28

Para escrever $15$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 11.2.3.29

Combine $15$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3})$

Etapa 11.2.3.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 15 \cdot 3}{3})$

Etapa 11.2.3.31

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.31.1

Multiplique $15$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 45}{3})$

Etapa 11.2.3.31.2

Some $- 20$ e $45$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{25}{3})$

Etapa 11.2.3.32

Para escrever $- 10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3})$

Etapa 11.2.3.33

Combine $- 10$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3})$

Etapa 11.2.3.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3 + 25}{3})$

Etapa 11.2.3.35

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.35.1

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 30 + 25}{3})$

Etapa 11.2.3.35.2

Some $- 30$ e $25$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 5}{3})$

Etapa 11.2.3.36

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- \frac{5}{3})$

Etapa 12

Some $- 2$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{5}{3})$

Etapa 14

Multiplique $- \frac{5}{3}$ por $1$ .

$A (x) = - \frac{5}{3}$

Etapa 15