Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , $[- 2, 6]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 6]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} + 2 x + 10 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} d x + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 \int_{- 2}^{6} x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + 10 x]_{- 2}^{6})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6}$ e $10 x]_{- 2}^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $6$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 10 x$ em $6$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.2

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.2.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{4}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 1 \cdot 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.6

Subtraia $2$ de $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.7

Multiplique $2$ por $16$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.8

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 216 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{216}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.10

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.10.1

Fatore $3$ de $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{72}{1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.10.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.11

Multiplique $10$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 60 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.12

Some $72$ e $60$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.13

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{- 8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Etapa 11.2.3.16

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20))$

Etapa 11.2.3.17

Para escrever $- 20$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3}))$

Etapa 11.2.3.18

Combine $- 20$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3}))$

Etapa 11.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 20 \cdot 3}{3})$

Etapa 11.2.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.20.1

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 60}{3})$

Etapa 11.2.3.20.2

Subtraia $60$ de $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 68}{3})$

Etapa 11.2.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Etapa 11.2.3.22

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + 1 (\frac{68}{3}))$

Etapa 11.2.3.23

Multiplique $\frac{68}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Etapa 11.2.3.24

Para escrever $132$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3})$

Etapa 11.2.3.25

Combine $132$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3})$

Etapa 11.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3 + 68}{3})$

Etapa 11.2.3.27

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.27.1

Multiplique $132$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{396 + 68}{3})$

Etapa 11.2.3.27.2

Some $396$ e $68$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{464}{3})$

Etapa 11.2.3.28

Para escrever $32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{464}{3})$

Etapa 11.2.3.29

Combine $32$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{464}{3})$

Etapa 11.2.3.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3 + 464}{3})$

Etapa 11.2.3.31

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.31.1

Multiplique $32$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{96 + 464}{3})$

Etapa 11.2.3.31.2

Some $96$ e $464$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{560}{3})$

Etapa 12

Some $6$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{560}{3}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 13.1

Fatore $8$ de $560$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (70)}{3}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 70}{3}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{70}{3}$

Etapa 14