Cálculo Exemplos

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $p (x)$ é contínuo em $[0, 10]$ ou não, encontre o domínio de $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

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Etapa 1.1

Defina o argumento em $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Some $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Etapa 1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 72$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1.1

Eleve $72$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 1.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.3

Subtraia $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.4

Reescreva $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $72$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.3

Subtraia $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.4

Reescreva $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

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Etapa 1.2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.6.5

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.6.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Etapa 1.2.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Etapa 1.2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.7.1.1

Eleve $72$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.3

Subtraia $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.4

Reescreva $5176$ como $2^{2} \cdot 1294$ .

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Etapa 1.2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.7.5

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.7.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Etapa 1.2.7.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Etapa 1.2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 38$

Etapa 1.2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 38$ na desigualdade original.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Etapa 1.2.10.1.3

O lado esquerdo $153$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 1.2.10.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Etapa 1.2.10.2.3

O lado esquerdo $- 197$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.10.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Etapa 1.2.10.3.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Verdadeiro

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falso

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Verdadeiro

Etapa 1.2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ ou $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Etapa 2

$p (x)$ é contínuo em $[0, 10]$ .

$p (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $p$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Etapa 5.2

Some $10$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Some $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{10}$ e $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Etapa 7