Cálculo Exemplos

$g (x) = x^{2} (x^{4} - 3)$ , $[0, 2]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$g (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

$g (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $g$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} (x^{4} - 3) d x)$

Etapa 5

Multiplique $x^{2} (x^{4} - 3)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} x^{4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2 + 4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Etapa 6.1.2

Some $2$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Etapa 6.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 9

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{1}{7} x^{7}$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{7} \cdot 2^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 2^{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 128 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 (\frac{1}{7}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.6

Some $\frac{128}{7}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 11.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.9.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 11.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 11.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 11.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 11.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - 0))$

Etapa 11.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} + 0))$

Etapa 11.2.3.11

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3}))$

Etapa 11.2.3.12

Combine $- 3$ e $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 3 \cdot 8}{3})$

Etapa 11.2.3.13

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 24}{3})$

Etapa 11.2.3.14

Cancele o fator comum de $- 24$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.14.1

Fatore $3$ de $- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3})$

Etapa 11.2.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)})$

Etapa 11.2.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1})$

Etapa 11.2.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8}{1})$

Etapa 11.2.3.14.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8)$

Etapa 11.2.3.15

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8 \cdot \frac{7}{7})$

Etapa 11.2.3.16

Combine $- 8$ e $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8 \cdot 7}{7})$

Etapa 11.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 8 \cdot 7}{7})$

Etapa 11.2.3.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.18.1

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 56}{7})$

Etapa 11.2.3.18.2

Subtraia $56$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{72}{7})$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{72}{7}$

Etapa 12.2

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{7}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $72$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (36)}{7}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 36}{7}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{36}{7}$

Etapa 14