Cálculo Exemplos

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $g (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ ou não, encontre o domínio de $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + x^{3} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} \geq - 1$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Etapa 1.2.3

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 1.2.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.7.2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 1.2.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq - 1$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Notação de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Etapa 2

$g (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

$g (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $g$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 5.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Etapa 5.5.2

Some $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Etapa 6

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Etapa 8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.6

Multiplique $2$ por $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 10.2.7.1

Fatore $3$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Etapa 10.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Etapa 10.2.10

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Etapa 10.2.11

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Etapa 10.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Etapa 10.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.13.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Etapa 10.2.13.2

Subtraia $2$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Etapa 10.2.14

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Etapa 10.2.15

Multiplique $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Etapa 11

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Etapa 11.2

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Etapa 13