Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $[1, 27]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 27]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ em $27$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $3$ por $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Etapa 7.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 7.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243 - 3}{4})$

Etapa 7.2.10

Subtraia $3$ de $243$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{240}{4})$

Etapa 7.2.11

Cancele o fator comum de $240$ e $4$ .

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Etapa 7.2.11.1

Fatore $4$ de $240$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4})$

Etapa 7.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.11.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 (1)})$

Etapa 7.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1})$

Etapa 7.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{60}{1})$

Etapa 7.2.11.2.4

Divida $60$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (60)$

Etapa 8

Subtraia $1$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{26} \cdot 60$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1

Fatore $2$ de $26$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (13)} \cdot 60$

Etapa 9.2

Fatore $2$ de $60$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Etapa 9.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{13} \cdot 30$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{13}$ e $30$ .

$A (x) = \frac{30}{13}$

Etapa 11