Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $(1, 8)$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 8]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ em $8$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

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Etapa 7.2.7.1

Fatore $4$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Etapa 7.2.10

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 7.2.11

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 7.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Etapa 7.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.13.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Etapa 7.2.13.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Etapa 8

Subtraia $1$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Etapa 9.2

Multiplique $7$ por $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Etapa 10