Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 4, - 3]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ .

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Etapa 1.1

Defina a base em $x^{- 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 4, - 3]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Etapa 7

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

Etapa 8

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $- 3$ e em $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Etapa 9.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $- 3$ e em $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.4

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.5

Combine $- 16$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.6.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.7

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.8

Combine $- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.10.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.10.2

Subtraia $16$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Etapa 9.1.3.12

Para escrever $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 9.1.3.13

Combine $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Etapa 9.1.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Etapa 9.1.3.15

Multiplique $2$ por $12$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Etapa 9.2.2

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Etapa 9.2.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Etapa 9.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 4$ e $0$ é $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Etapa 10

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Some $- 3$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Etapa 10.2.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Etapa 10.3

Multiplique $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ por $1$ .

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1

Simplifique $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ movendo $24$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

Etapa 11.3

Eleve $3$ à potência de $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

Etapa 11.4

Eleve $4$ à potência de $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

Etapa 12