Cálculo Exemplos

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{(y - 1) (y^{2} - y)} d y$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y (y^{2} - y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Etapa 4

Reordene $y$ e $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Etapa 5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1 + 2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 7

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 8

Fatore o negativo.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y \cdot y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 9

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 10

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y^{1}) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{1 + 1} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + 1 y} d y$

Etapa 12.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + y} d y$

Etapa 13

Subtraia $1 y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Etapa 14

Divida $y^{3} - y - 1$ por $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

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Etapa 14.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

Etapa 14.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y^{3}$ .

									$1$
	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$

Etapa 14.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

Etapa 14.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{3} - 2 y^{2} + y + 0$ .

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$

Etapa 14.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$
									+	$2 y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Etapa 14.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 + \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Etapa 15

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$y + C + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Etapa 17

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 17.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} + y}$

Etapa 17.1.1.1.2

Fatore $y$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y}$

Etapa 17.1.1.1.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y^{1}}$

Etapa 17.1.1.1.4

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 1}$

Etapa 17.1.1.1.5

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1}$

Etapa 17.1.1.1.6

Fatore $y$ de $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1)}$

Etapa 17.1.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 17.1.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1^{2})}$

Etapa 17.1.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Etapa 17.1.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 17.1.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y {(y - 1)}^{2}}$

Etapa 17.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}}$

Etapa 17.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$

Etapa 17.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 17.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) ({(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.6

Cancele o fator comum de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 17.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.6.2

Divida $2 y^{2} - 2 y - 1$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.7.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 17.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.1.2

Divida $A ({(y - 1)}^{2})$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ({(y - 1)}^{2}) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.2

Reescreva ${(y - 1)}^{2}$ como $(y - 1) (y - 1)$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ((y - 1) (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.3

Expanda $(y - 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 17.1.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y (y - 1) - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 17.1.7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.4.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4.1.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.4.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 2 y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + A (- 2 y) + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.6

Simplifique.

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Etapa 17.1.7.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.7

Cancele o fator comum de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 17.1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{B (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.7.2

Divida $(B) (y)$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + (B) (y) + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.8

Cancele o fator comum de ${(y - 1)}^{2}$ e $y - 1$ .

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Etapa 17.1.7.8.1

Fatore $y - 1$ de $(C) (y {(y - 1)}^{2})$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{y - 1}$

Etapa 17.1.7.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.1.7.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Etapa 17.1.7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Etapa 17.1.7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{C (y (y - 1))}{1}$

Etapa 17.1.7.8.2.4

Divida $C (y (y - 1))$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y (y - 1))$

Etapa 17.1.7.9

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Etapa 17.1.7.10

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} + y \cdot - 1)$

Etapa 17.1.7.11

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - 1 \cdot y)$

Etapa 17.1.7.12

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - y)$

Etapa 17.1.7.13

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} + C (- y)$

Etapa 17.1.7.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} - C y$

Etapa 17.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1.8.1

Mova $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Etapa 17.1.8.2

Reordene $B$ e $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Etapa 17.1.8.3

Mova $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + B y + C y^{2} - C y + A$

Etapa 17.1.8.4

Mova $B y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + C y^{2} + B y - C y + A$

Etapa 17.1.8.5

Mova $- 2 y A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + C y^{2} - 2 y A + B y - C y + A$

Etapa 17.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 17.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + C$

Etapa 17.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 17.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A$

Etapa 17.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

Etapa 17.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 17.3.1

Reescreva a equação como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 17.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 17.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + C$ por $- 1$ .

$2 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 17.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 17.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = - 2 A + B - 1 C$ por $- 1$ .

$- 2 = - 2 \cdot - 1 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.3.2.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 = 2 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.2.4.1.2

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.3

Resolva $C$ em $2 = - 1 + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + C = 2$ .

$- 1 + C = 2$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 17.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 2 + 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Etapa 17.3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 17.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 2 = 2 + B - C$ por $3$ .

$- 2 = 2 + B - (3)$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.4.2.1

Simplifique $2 + B - (3)$ .

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Etapa 17.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 2 + B - 3$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.4.2.1.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.5

Resolva $B$ em $- 2 = B - 1$ .

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Etapa 17.3.5.1

Reescreva a equação como $B - 1 = - 2$ .

$B - 1 = - 2$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 17.3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = - 2 + 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.5.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Etapa 17.3.6

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 C = 3 A = - 1$

Etapa 17.3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 1, C = 3, A = - 1$

Etapa 17.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Etapa 17.5

Simplifique.

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Etapa 17.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Etapa 17.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C + \int - \frac{1}{y} - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 18

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C + \int - \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 19

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C - \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 20

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 21

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 22

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 22.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 22.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 22.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 22.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 22.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 22.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 22.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 23

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 23.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 23.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 23.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 23.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 24

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Etapa 25

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y - 1} d y$

Etapa 26

Deixe $u_{2} = y - 1$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 26.1

Deixe $u_{2} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 26.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 26.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 26.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 26.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 26.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 26.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 27

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 28

Simplifique.

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 29

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 29.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 29.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| y - 1 |) + C$