Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ , $[1, 2]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Etapa 7

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Etapa 10

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 \int_{1}^{2} x d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}))$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $2$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Etapa 12.2.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4

Simplifique.

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Etapa 12.2.4.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.3

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 12.2.4.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.4.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.3.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.6

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.7

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.4.9.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.9.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 \frac{8 - 1}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.13

Subtraia $1$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{7}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.14

Combine $- 4$ e $\frac{7}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 4 \cdot 7}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.15

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.17

Para escrever $\frac{15}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.18

Para escrever $- \frac{28}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.2.4.19.1

Multiplique $\frac{15}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.19.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.19.3

Multiplique $\frac{28}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.19.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.4.21.1

Multiplique $15$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.21.2

Multiplique $- 28$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 112}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.21.3

Subtraia $112$ de $45$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.23

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.24

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 12.2.4.24.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.24.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.4.24.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.24.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.24.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.24.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1^{2}}{2}))$

Etapa 12.2.4.25

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1}{2}))$

Etapa 12.2.4.26

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 12.2.4.27

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 12.2.4.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}))$

Etapa 12.2.4.29

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.4.29.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4 - 1}{2}))$

Etapa 12.2.4.29.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{3}{2}))$

Etapa 12.2.4.30

Combine $5$ e $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{5 \cdot 3}{2})$

Etapa 12.2.4.31

Multiplique $5$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2})$

Etapa 12.2.4.32

Para escrever $\frac{15}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{6})$

Etapa 12.2.4.33

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.2.4.33.1

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 6})$

Etapa 12.2.4.33.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{12})$

Etapa 12.2.4.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 15 \cdot 6}{12})$

Etapa 12.2.4.35

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.4.35.1

Multiplique $15$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 90}{12})$

Etapa 12.2.4.35.2

Some $- 67$ e $90$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{23}{12})$

Etapa 13

Subtraia $1$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Etapa 14.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot \frac{23}{12}$

Etapa 15

Multiplique $\frac{23}{12}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{23}{12}$

Etapa 16