Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 4]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 4]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 7

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 \int_{0}^{4} x^{2} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $4$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3

Cancele o fator comum de $256$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.3.1

Fatore $4$ de $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.4

Divida $64$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.5

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.6

Multiplique $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.7

Some $64$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 9.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 9.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 9.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - 0))$

Etapa 9.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} + 0))$

Etapa 9.2.3.12

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3}))$

Etapa 9.2.3.13

Combine $- 3$ e $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 3 \cdot 64}{3})$

Etapa 9.2.3.14

Multiplique $- 3$ por $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 192}{3})$

Etapa 9.2.3.15

Cancele o fator comum de $- 192$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.15.1

Fatore $3$ de $- 192$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3})$

Etapa 9.2.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 (1)})$

Etapa 9.2.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 \cdot 1})$

Etapa 9.2.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 64}{1})$

Etapa 9.2.3.15.2.4

Divida $- 64$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 64)$

Etapa 9.2.3.16

Subtraia $64$ de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

Etapa 10.2

Some $4$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Etapa 12