Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ , $[- 1, 2]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} - 3 x + 5 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Etapa 7

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 5 x]_{- 1}^{2})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ e $5 x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ em $2$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.4

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.5

Combine $10$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.7.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 30}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.7.2

Some $8$ e $30$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{- 1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.11

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.12

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.13

Combine $- 5$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 5 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.15.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 15}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.15.2

Subtraia $15$ de $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + 1 (\frac{16}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.18

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38 + 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.20

Some $38$ e $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{54}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.21

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.21.1

Fatore $3$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.21.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.21.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.21.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.21.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.22

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.23

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.23.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.23.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.23.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.23.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.23.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.24

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{1}{2}))$

Etapa 11.2.3.25

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 11.2.3.26

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Etapa 11.2.3.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2})$

Etapa 11.2.3.28

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.28.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{4 - 1}{2})$

Etapa 11.2.3.28.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{3}{2}))$

Etapa 11.2.3.29

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 3 \cdot 3}{2})$

Etapa 11.2.3.30

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 9}{2})$

Etapa 11.2.3.31

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - \frac{9}{2})$

Etapa 11.2.3.32

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Etapa 11.2.3.33

Combine $18$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Etapa 11.2.3.34

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2 - 9}{2})$

Etapa 11.2.3.35

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.35.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{36 - 9}{2})$

Etapa 11.2.3.35.2

Subtraia $9$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2})$

Etapa 12

Some $2$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1

Fatore $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (9)}{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{9}{2}$

Etapa 14