Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Etapa 5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $9$ e em $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.5

Multiplique $2$ por $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.6

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.6.1

Fatore $3$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.6.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Etapa 8.2.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Etapa 8.2.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.9.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Etapa 8.2.2.9.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Etapa 8.2.2.11

Multiplique $2$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Etapa 8.2.2.12

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Etapa 8.2.2.13

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Etapa 8.2.2.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Etapa 8.2.2.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.15.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Etapa 8.2.2.15.2

Subtraia $16$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Etapa 8.2.2.16

Combine $6$ e $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Etapa 8.2.2.17

Multiplique $6$ por $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Etapa 8.2.2.18

Cancele o fator comum de $228$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.18.1

Fatore $3$ de $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Etapa 8.2.2.18.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.18.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Etapa 8.2.2.18.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Etapa 8.2.2.18.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Etapa 8.2.2.18.2.4

Divida $76$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Etapa 9

Subtraia $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{5}$ e $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Etapa 11