Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[0, 2 π]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 5 \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o argumento em $\csc (x)$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Etapa 6

A integral de $\csc (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ em $2 π$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Reescreva $\csc (2 π)$ em termos de senos e cossenos.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Reescreva $\csc (0)$ em termos de senos e cossenos.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.4

Cancele o fator comum de $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Etapa 7.3.4.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Etapa 7.3.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Etapa 7.3.6

Multiplique $5$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Etapa 8.2

Some $2 π$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Etapa 9

Multiplique $\frac{1}{2 π}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Etapa 10