Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 2 x - 3$ , $[- 3, 3]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} + 2 x - 3 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 6

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Etapa 13.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Etapa 13.3

Avalie $- 3 x$ em $3$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 27}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.4

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.4.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 9}{1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.4.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.6

Some $9$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \cdot 18 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.7

Multiplique $5$ por $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.9

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9 - 9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.11

Subtraia $9$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.12

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.12.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.13

Multiplique $2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.14

Some $90$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.15

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 13.4.16

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 - 9)$

Etapa 13.4.17

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 18)$

Etapa 13.4.18

Subtraia $18$ de $90$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (72)$

Etapa 14

Some $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 72$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Fatore $6$ de $72$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (12))$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 12)$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 12$

Etapa 16