Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[0, 2]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.6

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 11.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 11.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 11.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 11.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 11.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 11.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} - 0))$

Etapa 11.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - (\frac{8}{3} + 0))$

Etapa 11.2.3.12

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - \frac{8}{3})$

Etapa 11.2.3.13

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Etapa 11.2.3.14

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Etapa 11.2.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{4 \cdot 3 - 8}{3})$

Etapa 11.2.3.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.16.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{12 - 8}{3})$

Etapa 11.2.3.16.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{4}{3})$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 12.2

Some $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 14