Cálculo Exemplos

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Etapa 7

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Etapa 8

Deixe $u = - 0.04 x$ . Depois, $d u = - 0.04 d x$ , então, $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - 0.04 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 0.04$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.04 x$ em relação a $x$ é $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 0.04$ por $1$ .

$- 0.04$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Etapa 8.3

Multiplique $- 0.04$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Etapa 8.5

Multiplique $- 0.04$ por $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Etapa 9.2

Combine ${2.71828182}^{u}$ e $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{0.04}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.04}$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{0.04}$ e $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Etapa 13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Etapa 14

A integral de ${2.71828182}^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ e $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Etapa 15.2

Mova $8$ para a esquerda de $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Etapa 16

Substitua e simplifique.

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Etapa 16.1

Avalie $29 x$ em $5$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Etapa 16.2

Avalie $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ em $- 0.2$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3

Simplifique.

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Etapa 16.3.1

Multiplique $29$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.2

Multiplique $- 29$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.3

Some $145$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.6

Reescreva $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ como um produto.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.7

Multiplique $\frac{1}{1.22140275}$ por $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.8

Multiplique $1.22140275$ por $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 16.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.1.1.1

Divida $1$ por $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.2

Para escrever $0.81873075$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.1.1.4.1

Multiplique $0.81873075$ por $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.4.2

Subtraia $1$ de $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.7

A base do logaritmo $2.71828182$ de $2.71828182$ é de aproximadamente $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Etapa 17.1.1.8

Divida $0.18126924$ por $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Etapa 17.1.1.9

Multiplique $- 1$ por $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Etapa 17.1.2

Multiplique $8$ por $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Etapa 17.1.3

Divida $- 1.45015397$ por $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Etapa 17.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Etapa 17.2

Some $145$ e $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Etapa 18

Simplifique o denominador.

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Etapa 18.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Etapa 18.2

Some $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Etapa 19

Combine frações.

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Etapa 19.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Etapa 19.2

Divida $181.25384939$ por $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Etapa 20