Cálculo Exemplos

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 20]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Some $- 2 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Etapa 5.2

Some $204 x$ e $14 x$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Etapa 8

Como $218$ é constante com relação a $x$ , mova $218$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ e $3 x]_{0}^{20}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $20$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ em $20$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

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Etapa 12.2.3.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.2

Cancele o fator comum de $400$ e $2$ .

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Etapa 12.2.3.2.1

Fatore $2$ de $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.2.2.4

Divida $200$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 12.2.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.6

Some $200$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.7

Multiplique $218$ por $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.8

Eleve $20$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.10

Multiplique $3$ por $20$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.11

Para escrever $60$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.12

Combine $60$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.3.14.1

Multiplique $60$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.14.2

Some $8000$ e $180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.15

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.16

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

Etapa 12.2.3.17

Multiplique $3$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

Etapa 12.2.3.18

Some $0$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

Etapa 12.2.3.19

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

Etapa 12.2.3.20

Some $\frac{8180}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

Etapa 12.2.3.21

Para escrever $43600$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

Etapa 12.2.3.22

Combine $43600$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

Etapa 12.2.3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

Etapa 12.2.3.24

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.3.24.1

Multiplique $43600$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

Etapa 12.2.3.24.2

Some $130800$ e $8180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

Etapa 13

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

Etapa 13.2

Some $20$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 14.1

Fatore $20$ de $138980$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

Etapa 15