Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 3$ , $[1, 3]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 3]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 2 x^{2} - 3 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 d x)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + - 3 x]_{1}^{3})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - 3 x]_{1}^{3})$

Etapa 10.2

Avalie $- 3 x$ em $3$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 10.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (9 - \frac{1^{3}}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (9 - \frac{1}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.4

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.5

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{9 \cdot 3 - 1}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.7.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{27 - 1}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.7.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (2 (\frac{26}{3}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.8

Combine $2$ e $\frac{26}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{2 \cdot 26}{3} - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.9

Multiplique $2$ por $26$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.10

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} - 9 + 3 \cdot 1)$

Etapa 10.3.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} - 9 + 3)$

Etapa 10.3.12

Some $- 9$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} - 6)$

Etapa 10.3.13

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 10.3.14

Combine $- 6$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3})$

Etapa 10.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52 - 6 \cdot 3}{3})$

Etapa 10.3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.16.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{52 - 18}{3})$

Etapa 10.3.16.2

Subtraia $18$ de $52$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{34}{3})$

Etapa 11

Subtraia $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{3}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $34$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (17)}{3}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 17}{3}$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{17}{3}$

Etapa 13