Cálculo Exemplos

$y = - x + 2 \cos (x)$

Etapa 1

Escreva $y = - x + 2 \cos (x)$ como uma função.

$f (x) = - x + 2 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Etapa 3.3

Subtraia $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = 1$

Etapa 6

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 9

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 10

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 10.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 11

A solução para a equação $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 13.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 13.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \sqrt{3}$

Etapa 13.5

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = - \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = - (- \frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- (- \frac{π}{6})$ .

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Etapa 15.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 1 (\frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Etapa 15.2.1.1.2

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Etapa 15.2.1.2

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 15.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 15.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 17.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 17.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 17.4

Multiplique.

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Etapa 17.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Etapa 17.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 18

$x = \frac{7 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = - (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 19.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 19.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 19.2.2

A resposta final é $- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x + 2 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ é um máximo local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3})$ é um mínimo local

Etapa 21