Cálculo Exemplos

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

Etapa 5

Expanda ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.5

Mova $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.6

Mova $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.7

Multiplique $9$ por $9$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.9

Some $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.10

Multiplique $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.11

Multiplique $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

Etapa 5.12

Multiplique $1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

Etapa 5.13

Some $9 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 7

Como $81$ é constante com relação a $x$ , mova $81$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 10

Como $18$ é constante com relação a $x$ , mova $18$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 14.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 14.3

Avalie $x$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.5

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.7

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.8

Combine $81$ e $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.9

Multiplique $81$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.14

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.16

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

Etapa 14.4.17

Combine $18$ e $\frac{2}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.18

Multiplique $18$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.19

Cancele o fator comum de $36$ e $3$ .

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Etapa 14.4.19.1

Fatore $3$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.19.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.4.19.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.19.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.19.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.19.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

Etapa 14.4.20

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.21

Combine $12$ e $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.23.1

Multiplique $12$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.23.2

Some $162$ e $60$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

Etapa 14.4.24

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

Etapa 14.4.25

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 14.4.26

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

Etapa 14.4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

Etapa 14.4.28

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.28.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

Etapa 14.4.28.2

Some $222$ e $10$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

Etapa 15

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $232$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{116}{5}$

Etapa 17