Cálculo Exemplos

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.4

Mova $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.8

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.9

Multiplique $2$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Etapa 5.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

Etapa 5.11

Subtraia $1 x$ de $8 x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 10

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Etapa 14.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Etapa 14.3

Avalie $- 4 x$ em $5$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.4

Subtraia $1$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.5

Combine $2$ e $\frac{124}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.6

Multiplique $2$ por $124$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.7

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.10

Subtraia $1$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.11

Cancele o fator comum de $24$ e $2$ .

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Etapa 14.4.11.1

Fatore $2$ de $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.4.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.11.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.12

Multiplique $7$ por $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.13

Para escrever $84$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.14

Combine $84$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.16.1

Multiplique $84$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.16.2

Some $248$ e $252$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.17

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

Etapa 14.4.18

Multiplique $4$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

Etapa 14.4.19

Some $- 20$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

Etapa 14.4.20

Para escrever $- 16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 14.4.21

Combine $- 16$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

Etapa 14.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

Etapa 14.4.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.23.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

Etapa 14.4.23.2

Subtraia $48$ de $500$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

Etapa 15

Subtraia $1$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 16.1

Fatore $4$ de $452$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{113}{3}$

Etapa 17