Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{8}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

Etapa 5

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $4$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

Etapa 8.2.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 8.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Etapa 8.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

Etapa 8.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

Etapa 8.2.6

Some $- 1$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

Etapa 8.2.7

Combine $8$ e $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

Etapa 8.2.8

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 8.2.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

Etapa 8.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

Etapa 8.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

Etapa 8.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

Etapa 8.2.8.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

Etapa 9

Subtraia $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1$

Etapa 11