Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7}{x}$ , $[2, 7]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[2, 7]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{7}{x}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{7}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[2, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\int_{2}^{7} \frac{7}{x} d x)$

Etapa 5

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 \int_{2}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 (\ln (| x |)]_{2}^{7}))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $7$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 (\ln (| 7 |) - \ln (| 2 |)))$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 \ln (\frac{| 7 |}{| 2 |}))$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $7$ é $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 \ln (\frac{7}{| 2 |}))$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (7 \ln (\frac{7}{2}))$

Etapa 8

Subtraia $2$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (7 \ln (\frac{7}{2}))$

Etapa 9

Simplifique $7 \ln (\frac{7}{2})$ movendo $7$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln ({(\frac{7}{2})}^{7})$

Etapa 10

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{7^{7}}{2^{7}})$

Etapa 11

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{823543}{2^{7}})$

Etapa 12

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{823543}{128})$

Etapa 13

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (\frac{823543}{128})$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \ln ({(\frac{823543}{128})}^{\frac{1}{5}})$

Etapa 14

Aplique a regra do produto a $\frac{823543}{128}$ .

$A (x) = \ln (\frac{823543^{\frac{1}{5}}}{128^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 15