Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

Etapa 7

Multiplique $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 8.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Etapa 8.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Etapa 8.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Etapa 10

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ e $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\ln (| x |) - x^{- 1}$ em $4$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Etapa 12.2.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Etapa 12.2.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

Etapa 12.2.2.3

Para escrever $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

Etapa 12.2.2.4

Combine $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Etapa 12.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Etapa 12.2.2.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.2

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.3

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.4.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.4.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Etapa 13.1.4.3.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

Etapa 13.1.4.3.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

Etapa 13.1.4.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

Etapa 13.1.4.5

Some $- 1$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Etapa 13.2

Para escrever $2 \ln (2)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Etapa 13.3

Combine $2 \ln (2)$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Etapa 13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 13.5.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Etapa 13.5.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

Etapa 13.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

Etapa 13.7

Subtraia $4 \ln (2)$ de $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

Etapa 14

Subtraia $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Simplifique $4 \ln (2)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

Etapa 15.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

Etapa 16

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 17

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (16)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 18

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Etapa 19

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Etapa 19.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Etapa 19.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Etapa 19.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Etapa 19.4

Avalie o expoente.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Etapa 20