Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4$ , $[- 2, 0]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 0]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Etapa 5.2

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} + 4 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 x]_{- 2}^{0})$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0}$ e $4 x]_{- 2}^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4} + 4 x]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x$ em $0$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $0$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

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Etapa 12.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.5

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{16}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.7

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 12.2.3.7.1

Fatore $4$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.3.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4}{1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.7.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.8

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 - 8) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.9

Subtraia $8$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.11

Some $0$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.13

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 12.2.3.13.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.3.13.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.3.14

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{- 8}{3}))$

Etapa 12.2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Etapa 12.2.3.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + 1 (\frac{8}{3})))$

Etapa 12.2.3.17

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Etapa 12.2.3.18

Some $0$ e $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - \frac{8}{3})$

Etapa 12.2.3.19

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Etapa 12.2.3.20

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Etapa 12.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3 - 8}{3})$

Etapa 12.2.3.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.3.22.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{12 - 8}{3})$

Etapa 12.2.3.22.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4}{3})$

Etapa 13

Some $0$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 15