Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 5

Como $15$ é constante com relação a $x$ , mova $15$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 6.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Etapa 6.3.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Etapa 6.5.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\ln (| u |)$ em $5$ e em $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Subtraia $\ln (| 5 |)$ de $\ln (| 5 |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

Etapa 12

Some $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 13

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Etapa 14