Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[2, 4]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Etapa 5.5

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 7

Avalie $\ln (| u |)$ em $3$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Etapa 9.3

Divida $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Etapa 10

Subtraia $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Etapa 11

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 12