Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[3, 9]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[3, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[3, 9]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\int_{3}^{9} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (| x |)]_{3}^{9})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $9$ e em $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |))$

Etapa 6.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |}))$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (\frac{9}{| 3 |}))$

Etapa 6.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (\frac{9}{3}))$

Etapa 6.3.3

Divida $9$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 3} (\ln (3))$

Etapa 7

Subtraia $3$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \ln (3)$

Etapa 8

Simplifique $\frac{1}{6} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{6}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{6}})$

Etapa 9