Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[0, 3]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + x \geq 0$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 1.3

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Simplifique.

$1 + x = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 1.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Notação de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 3]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 5.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Etapa 5.5

Some $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Etapa 6.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Etapa 6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.4

Avalie o expoente.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Etapa 8.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Etapa 8.2.8

Subtraia $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Etapa 9.2

Some $3$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 11