Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[0, 5]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = x - 6$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Etapa 5.3

Subtraia $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Etapa 5.5

Subtraia $6$ de $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $- 1$ e em $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Etapa 8.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Etapa 8.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Etapa 8.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Etapa 8.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Etapa 8.2.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Etapa 8.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Etapa 8.2.9

Subtraia $1$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Etapa 9.2

Some $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Etapa 11