Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

Etapa 1.5

Some $2 x + 4 y$ e $0$ .

$2 x + 4 y - 6$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 4 y - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.3.2

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x + 4 y - 6 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

Etapa 4.1.5

Some $2 x + 4 y$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 4 y - 6$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 4 y - 6$ .

$2 x + 4 y - 6$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 4 y - 6 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + 4 y - 6 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$2 x - 6 = - 4 y$

Etapa 5.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 x = - 4 y + 6$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x = - 4 y + 6$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 4 y + 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 2 y}{1} + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.4

Divida $- 2 y$ por $1$ .

$x = - 2 y + \frac{6}{2}$

Etapa 5.3.3.1.2

Divida $6$ por $2$ .

$x = - 2 y + 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2 y + 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2 y + 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2$

Etapa 9

$x = - 2 y + 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2 y + 3$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = - 2 y + 3$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 y + 3$ na expressão.

$f (- 2 y + 3) = {(- 2 y + 3)}^{2} + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Reescreva ${(- 2 y + 3)}^{2}$ como $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ .

$f (- 2 y + 3) = (- 2 y + 3) (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.2

Expanda $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y + 3) + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.3.2

Subtraia $6 y$ de $- 6 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (4 (- 2 y) + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 12) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y \cdot y + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.8

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.1.8.1

Mova $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 (y \cdot y) + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.8.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Etapa 10.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y) - 6 \cdot 3$

Etapa 10.2.1.10

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 6 \cdot 3$

Etapa 10.2.1.11

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$

Etapa 10.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 10.2.2.1

Combine os termos opostos em $4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Some $- 12 y$ e $12 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + 0 + y^{2} + 12 y - 18$

Etapa 10.2.2.1.2

Some $4 y^{2} + 9 - 8 y^{2}$ e $0$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + y^{2} + 12 y - 18$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $8 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 4 y^{2} + 9 + y^{2} + 12 y - 18$

Etapa 10.2.2.3

Some $- 4 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 9 + 12 y - 18$

Etapa 10.2.2.4

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

$y = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ .

$(- 2 y + 3, - 3 y^{2} + 12 y - 9)$ é um mínimo local

Etapa 12