Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 1.3.9

Combine $- 6$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{9}{5}$ e $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{9}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $\frac{9}{5}$ por $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.10

Multiplique $4$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.11

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.2.12

Mova $x^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{24}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{24}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ como ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{4}{5}}$ por $x^{- \frac{2}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.3

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{6}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + 1 (\frac{24}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $\frac{24}{5}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $\frac{24}{5}$ por $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 4.1.3.9

Combine $- 6$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 4.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 4.1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 4.1.4

Combine $\frac{9}{5}$ e $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Etapa 5.2.2

Como $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

Como $5$ não tem fatores além de $1$ e $5$ .

$5$ é um número primo

Etapa 5.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.6

O MMC de $5, 5, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$5$

Etapa 5.2.7

O MMC de $x^{\frac{1}{5}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 5.2.8

O MMC de $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ é a parte numérica $5$ multiplicada pela parte variável.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{1}{5}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$9 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $x^{\frac{4}{5}}$ por $x^{\frac{1}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 x^{\frac{1 + 4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Some $1$ e $4$ .

$9 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.3.5

Divida $5$ por $5$ .

$9 x^{1} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.4

Simplifique $9 x^{1}$ .

$9 x - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para o numerador.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$9 x - 24 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$9 x - 24 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x - 24 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $24$ aos dois lados da equação.

$9 x = 24$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $9 x = 24$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $9 x = 24$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{9}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $24$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1

Fatore $3$ de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{9}$

Etapa 5.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Etapa 5.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Etapa 5.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$3125 x = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3125 x = 0$

Etapa 6.3.3

Divida cada termo em $3125 x = 0$ por $3125$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $3125 x = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Divida $0$ por $3125$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{8}{3}, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{8}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{36}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36}{25 \frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.1.2

Combine $25$ e $\frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$36 \frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.1.4

Combine $36$ e $\frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 \frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Etapa 9.1.6

Combine $25$ e $\frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + 24 \frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.1.8

Combine $24$ e $\frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.2

Para escrever $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $8^{\frac{1}{5}}$ por $8^{\frac{5}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Mova $8^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (8^{\frac{5}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}})} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5 + 1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.3.2.4

Some $5$ e $1$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{1} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Avalie o expoente.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8 + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $8$ por $36$ .

$\frac{288 \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 10

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{8}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{9}{5}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 \frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 11.2.1.3

Combine $- 6$ e $\frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} + \frac{- 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 11.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3^{\frac{9}{5}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ por $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $3^{\frac{4}{5}}$ por $3^{\frac{5}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}$

Etapa 11.2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4 + 5}{5}}}$

Etapa 11.2.3.2.3

Some $4$ e $5$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 11.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 11.2.4.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 11.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 11.2.5

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $\frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$ .

$y = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{36}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{36}{25 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{1}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.3

Avalie o expoente.

$\frac{36}{25 \cdot 0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.4

Multiplique $25$ por $0$ .

$\frac{36}{0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{8}{3})$ na primeira derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{9 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{9 \cdot 1}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.3.2.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.3.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 \cdot 1}$

Etapa 14.3.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5}$

Etapa 14.3.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (1) = \frac{9 - 24}{5}$

Etapa 14.3.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.2.1

Subtraia $24$ de $9$ .

$f' (1) = \frac{- 15}{5}$

Etapa 14.3.2.2.2.2

Divida $- 15$ por $5$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $5$ , do intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ na primeira derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = \frac{9 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Mova ${(5)}^{\frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $5$ por $5^{- \frac{4}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1

Multiplique $5$ por $5^{- \frac{4}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (5) = \frac{9}{5^{1 - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5 - 4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.2.4

Subtraia $4$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.3

Multiplique $5$ por ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.3.1

Multiplique $5$ por ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{1 + \frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Etapa 14.4.2.1.3.4

Some $5$ e $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.2

Para escrever $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $5^{\frac{6}{5}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.3.1

Multiplique $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.3.2

Multiplique $5^{\frac{1}{5}}$ por $5^{\frac{5}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5} + \frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1 + 5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.3.2.3

Some $1$ e $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}} - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.5.1

Divida $5$ por $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.5.2

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.5.3

Multiplique $9$ por $5$ .

$f' (5) = \frac{45 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.5.4

Subtraia $24$ de $45$ .

$f' (5) = \frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.4.2.6

A resposta final é $\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{8}{3}$ , então $x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15