Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{8}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 1.6

Combine $\frac{8}{3}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{8}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.7

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.8

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.9

Multiplique.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 4.1.6

Combine $\frac{8}{3}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2.2

Divida $x^{\frac{5}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{5}{3}} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x^{\frac{5}{3}} = 0$

Etapa 5.3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.2.1

Simplifique $0^{\frac{3}{5}}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.3.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Etapa 5.3.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 0^{3}$

Etapa 5.3.3.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{40 {(0)}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{40 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{40 \cdot 0^{2}}{9}$

Etapa 9.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{40 \cdot 0}{9}$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $40$ por $0$ .

$\frac{0}{9}$

Etapa 9.2.2

Divida $0$ por $9$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{8 {(2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{3 + \frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.4

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3 + 5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.1.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{9 + 5}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.1.6.2

Some $9$ e $5$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2

A resposta final é $\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11