Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 6 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Etapa 1.3.9

Mova $2$ para a esquerda de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Etapa 1.4.1.2

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Etapa 1.4.1.3

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.3

Reescreva ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.4

Expanda $(6 - x) (6 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1.5.1

Mova $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.5.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Mova $36$ para a esquerda de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.7.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.7.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.7.3.2

Some $1$ e $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Mova $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 1.4.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Etapa 1.4.9.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Etapa 1.4.9.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Etapa 1.4.10

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Etapa 1.4.11

Expanda $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.2.1

Mova $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.3

Multiplique $36$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.4

Multiplique $12$ por $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.6.1

Mova $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.6.3

Some $1$ e $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.7

Multiplique $- 12$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.8

Multiplique $12$ por $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.10

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.10.1

Mova $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.10.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.12.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.10.3

Some $1$ e $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Etapa 1.4.12.11

Mova $12$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Etapa 1.4.13

Subtraia $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Etapa 1.4.14

Some $60 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}] + \frac{d}{d x} [432 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 324 x^{2}) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 324$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 324 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 324 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 (2 x) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 324$ .

$f'' (x) = - 648 x + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [432 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $432$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $432 x$ em relação a $x$ é $432 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $432$ por $1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x^{3}$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 (3 x^{2})$

Etapa 2.5.3

Multiplique $3$ por $72$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 216 x^{2}$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 216 x^{2} - 648 x + 432$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 6 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Etapa 4.1.3.9

Mova $2$ para a esquerda de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Etapa 4.1.4.1.2

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.1.3

Fatore $x {(6 - x)}^{2}$ de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.4

Expanda $(6 - x) (6 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.5.1.5.1

Mova $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.5.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.7.1

Mova $36$ para a esquerda de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.7.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.7.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.7.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.7.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.7.3.2

Some $1$ e $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.8.1

Mova $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Etapa 4.1.4.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Etapa 4.1.4.9.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Etapa 4.1.4.9.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Etapa 4.1.4.10

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Etapa 4.1.4.11

Expanda $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.2.1

Mova $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.3

Multiplique $36$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.4

Multiplique $12$ por $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.6.1

Mova $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.6.3

Some $1$ e $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.7

Multiplique $- 12$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.8

Multiplique $12$ por $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.10

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.10.1

Mova $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.10.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.12.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.10.3

Some $1$ e $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Etapa 4.1.4.12.11

Mova $12$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Etapa 4.1.4.13

Subtraia $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Etapa 4.1.4.14

Some $60 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$f' (x) = - 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $x$ de $- 324 x^{2}$ .

$x (- 324 x) + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $x$ de $432 x$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $x$ de $- 5 x^{4}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + 72 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $x$ de $72 x^{3}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $x$ de $x (- 324 x) + x \cdot 432$ .

$x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $x$ de $x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $x$ de $x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3} + 72 x^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2

Reordene os termos.

$x (- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 5.2.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 432, \pm 86.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 216, \pm 43.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 144, \pm 28.8, \pm 4, \pm 0.8, \pm 108, \pm 21.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 72, \pm 14.4, \pm 8, \pm 1.6, \pm 54, \pm 10.8, \pm 9, \pm 1.8, \pm 48, \pm 9.6, \pm 12, \pm 2.4, \pm 36, \pm 7.2, \pm 16, \pm 3.2, \pm 27, \pm 5.4, \pm 18, \pm 3.6, \pm 24, \pm 4.8$

Etapa 5.2.3.1.3

Substitua $6$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $6$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Substitua $6$ no polinômio.

$- 5 \cdot 6^{3} + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- 5 \cdot 216 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $216$ .

$- 1080 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 1080 + 72 \cdot 36 - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.5

Multiplique $72$ por $36$ .

$- 1080 + 2592 - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.6

Some $- 1080$ e $2592$ .

$1512 - 324 \cdot 6 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.7

Multiplique $- 324$ por $6$ .

$1512 - 1944 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.8

Subtraia $1944$ de $1512$ .

$- 432 + 432$

Etapa 5.2.3.1.3.9

Some $- 432$ e $432$ .

$0$

Etapa 5.2.3.1.4

Como $6$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 6$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432}{x - 6}$

Etapa 5.2.3.1.5

Divida $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ por $x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$6$

$5 x^{3}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$432$

Etapa 5.2.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$

Etapa 5.2.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			-	$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$

Etapa 5.2.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{3} + 30 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$

Etapa 5.2.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$

Etapa 5.2.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Etapa 5.2.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $42 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Etapa 5.2.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$252 x$

Etapa 5.2.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $42 x^{2} - 252 x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$

Etapa 5.2.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$

Etapa 5.2.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 72 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							-	$72 x$	+	$432$

Etapa 5.2.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 72 x + 432$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$

Etapa 5.2.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$
										$0$

Etapa 5.2.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 5 x^{2} + 42 x - 72$

Etapa 5.2.3.1.6

Escreva $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ como um conjunto de fatores.

$x ((x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 5 \cdot - 72 = 360$ e cuja soma é $b = 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1.1

Fatore $42$ de $42 x$ .

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 (x) - 72) = 0$

Etapa 5.2.4.1.1.2

Reescreva $42$ como $12$ mais $30$

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + (12 + 30) x - 72) = 0$

Etapa 5.2.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 12 x + 30 x - 72) = 0$

Etapa 5.2.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x - 6) ((- 5 x^{2} + 12 x) + 30 x - 72) = 0$

Etapa 5.2.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x - 6) (x (- 5 x + 12) - 6 (- 5 x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 5 x + 12$ .

$x (x - 6) ((- 5 x + 12) (x - 6)) = 0$

Etapa 5.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 6) (- 5 x + 12) (x - 6) = 0$

Etapa 5.2.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Etapa 5.2.5.2

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Etapa 5.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x {(x - 6)}^{1 + 1} (- 5 x + 12) = 0$

Etapa 5.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$- 5 x + 12 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina ${(x - 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva ${(x - 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 5.5.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5.6

Defina $- 5 x + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $- 5 x + 12$ como igual a $0$ .

$- 5 x + 12 = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $- 5 x + 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 5 x = - 12$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $- 5 x = - 12$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $- 5 x = - 12$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Etapa 5.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 5}$

Etapa 5.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{12}{5}$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(0)}^{3} + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 20$ por $0$ .

$0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 216 \cdot 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Etapa 9.1.4

Multiplique $216$ por $0$ .

$0 + 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 648$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 432$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 432$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 432$

Etapa 9.2.3

Some $0$ e $432$ .

$432$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} {(6 - (0))}^{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 {(6 - (0))}^{3}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $0$ de $6$ .

$f (0) = 0 \cdot 6^{3}$

Etapa 11.2.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 216$

Etapa 11.2.4

Multiplique $0$ por $216$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(6)}^{3} + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- 20 \cdot 216 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 20$ por $216$ .

$- 4320 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Etapa 13.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 4320 + 216 \cdot 36 - 648 \cdot 6 + 432$

Etapa 13.1.4

Multiplique $216$ por $36$ .

$- 4320 + 7776 - 648 \cdot 6 + 432$

Etapa 13.1.5

Multiplique $- 648$ por $6$ .

$- 4320 + 7776 - 3888 + 432$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $- 4320$ e $7776$ .

$3456 - 3888 + 432$

Etapa 13.2.2

Subtraia $3888$ de $3456$ .

$- 432 + 432$

Etapa 13.2.3

Some $- 432$ e $432$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{5}) \cup (\frac{12}{5}, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 324 {(- 2)}^{2} + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 324 \cdot 4 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2.1.2

Multiplique $- 324$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2.1.3

Multiplique $432$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 \cdot 16 + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 {(- 2)}^{3}$

Etapa 14.2.2.1.6

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 \cdot - 8$

Etapa 14.2.2.1.7

Multiplique $72$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 - 576$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Subtraia $864$ de $- 1296$ .

$f' (- 2) = - 2160 - 80 - 576$

Etapa 14.2.2.2.2

Subtraia $80$ de $- 2160$ .

$f' (- 2) = - 2240 - 576$

Etapa 14.2.2.2.3

Subtraia $576$ de $- 2240$ .

$f' (- 2) = - 2816$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $- 2816$ .

$- 2816$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{12}{5})$ na primeira derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 324 {(1)}^{2} + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 324 \cdot 1 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.1.2

Multiplique $- 324$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.1.3

Multiplique $432$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 \cdot 1 + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 {(1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 \cdot 1$

Etapa 14.3.2.1.7

Multiplique $72$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Some $- 324$ e $432$ .

$f' (1) = 108 - 5 + 72$

Etapa 14.3.2.2.2

Subtraia $5$ de $108$ .

$f' (1) = 103 + 72$

Etapa 14.3.2.2.3

Some $103$ e $72$ .

$f' (1) = 175$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $175$ .

$175$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{12}{5}, 6)$ na primeira derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 324 {(4)}^{2} + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - 324 \cdot 16 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $- 324$ por $16$ .

$f' (4) = - 5184 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2.1.3

Multiplique $432$ por $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 \cdot 256 + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $256$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 {(4)}^{3}$

Etapa 14.4.2.1.6

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 \cdot 64$

Etapa 14.4.2.1.7

Multiplique $72$ por $64$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 4608$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Some $- 5184$ e $1728$ .

$f' (4) = - 3456 - 1280 + 4608$

Etapa 14.4.2.2.2

Subtraia $1280$ de $- 3456$ .

$f' (4) = - 4736 + 4608$

Etapa 14.4.2.2.3

Some $- 4736$ e $4608$ .

$f' (4) = - 128$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $- 128$ .

$- 128$

Etapa 14.5

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(6, \infty)$ na primeira derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - 324 {(8)}^{2} + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f' (8) = - 324 \cdot 64 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2.1.2

Multiplique $- 324$ por $64$ .

$f' (8) = - 20736 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2.1.3

Multiplique $432$ por $8$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2.1.4

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $4096$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 {(8)}^{3}$

Etapa 14.5.2.1.6

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 \cdot 512$

Etapa 14.5.2.1.7

Multiplique $72$ por $512$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 36864$

Etapa 14.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.2.1

Some $- 20736$ e $3456$ .

$f' (8) = - 17280 - 20480 + 36864$

Etapa 14.5.2.2.2

Subtraia $20480$ de $- 17280$ .

$f' (8) = - 37760 + 36864$

Etapa 14.5.2.2.3

Some $- 37760$ e $36864$ .

$f' (8) = - 896$

Etapa 14.5.2.3

A resposta final é $- 896$ .

$- 896$

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{12}{5}$ , então $x = \frac{12}{5}$ é um máximo local.

$x = \frac{12}{5}$ é um máximo local

Etapa 14.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 6$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = \frac{12}{5}$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = \frac{12}{5}$ é um máximo local

Etapa 15