Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.10

Combine $- 32$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.12

Fatore $2$ de $- 32$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 2.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.3.16

Combine $16$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.17

Fatore $2$ de $16$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.18

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.18.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.3.18.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.18.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.2

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.10

Combine $- 32$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.12

Fatore $2$ de $- 32$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 16$

Etapa 5.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.3

Simplifique.

$2^{\frac{2}{3}} x = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.3.1.4

Reordene os fatores em $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4

Divida cada termo em $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Divida cada termo em $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.3.1

Use a potência da regra do quociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.3.2.1

Divida $16$ por $2$ .

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.3.2.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.4.3.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 5.4.4.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 5.4.4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$x = 2^{2}$

Etapa 5.4.4.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{16}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 6.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 + \frac{8}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 + \frac{8}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{8}{2^{3}}$

Etapa 9.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 + \frac{8}{8}$

Etapa 9.1.2

Divida $8$ por $8$ .

$2 + 1$

Etapa 9.2

Some $2$ e $1$ .

$3$

Etapa 10

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{2} - 32 \sqrt{4} - 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{4} - 1$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{2^{2}} - 1$

Etapa 11.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 16 - 32 \cdot 2 - 1$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$f (4) = 16 - 64 - 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $64$ de $16$ .

$f (4) = - 48 - 1$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 48$ .

$f (4) = - 49$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 49$ .

$y = - 49$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 + \frac{8}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$2 + \frac{8}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{8}{0^{3}}$

Etapa 13.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 + \frac{8}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 15