Cálculo Exemplos

$7 x + 3 y - 2 x^{2} - 4 x y^{2} = 12$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (7 x + 3 y - 2 x^{2} - 4 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 3 y - 2 x^{2} - 4 x y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 + 3 y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 + 3 y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 + 3 y' - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$7 + 3 y' - 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Etapa 2.5.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Etapa 2.5.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (2 x y y' + y^{2})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 + 3 y' - 4 x - 4 (2 x y y') - 4 y^{2}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$7 + 3 y' - 4 x - 8 x y y' - 4 y^{2}$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' - 4 x + 3 y' + 7$

Etapa 3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' - 4 x + 3 y' + 7 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $4 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 8 x y y' - 4 x + 3 y' + 7 = 4 y^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$- 8 x y y' + 3 y' + 7 = 4 y^{2} + 4 x$

Etapa 5.1.3

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- 8 x y y' + 3 y' = 4 y^{2} + 4 x - 7$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- 8 x y y' + 3 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- 8 x y y'$ .

$y' (- 8 x y) + 3 y' = 4 y^{2} + 4 x - 7$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $3 y'$ .

$y' (- 8 x y) + y' \cdot 3 = 4 y^{2} + 4 x - 7$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (- 8 x y) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 8 x y + 3) = 4 y^{2} + 4 x - 7$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 8 x y + 3) = 4 y^{2} + 4 x - 7$ por $- 8 x y + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 8 x y + 3) = 4 y^{2} + 4 x - 7$ por $- 8 x y + 3$ .

$\frac{y' (- 8 x y + 3)}{- 8 x y + 3} = \frac{4 y^{2}}{- 8 x y + 3} + \frac{4 x}{- 8 x y + 3} + \frac{- 7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8 x y + 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 8 x y + 3)}{- 8 x y + 3} = \frac{4 y^{2}}{- 8 x y + 3} + \frac{4 x}{- 8 x y + 3} + \frac{- 7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- 8 x y + 3} + \frac{4 x}{- 8 x y + 3} + \frac{- 7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{4 y^{2}}{- 8 x y + 3} + \frac{4 x}{- 8 x y + 3} - \frac{7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x}{- 8 x y + 3} - \frac{7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{- 8 x y + 3}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- 8 x y$ .

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{- (8 x y) + 3}$

Etapa 5.3.3.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{- (8 x y) - 1 (- 3)}$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- (8 x y) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{- (8 x y - 3)}$

Etapa 5.3.3.7

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.3.3.7.1

Reescreva $- (8 x y - 3)$ como $- 1 (8 x y - 3)$ .

$y' = \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{- 1 (8 x y - 3)}$

Etapa 5.3.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{8 x y - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{2} + 4 x - 7}{8 x y - 3}$