Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}] + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 32 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 32 x^{2}$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Mova $- 64$ para a esquerda de $e^{- 32 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 64 \cdot e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique $e^{- 32 x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Reordene os termos.

$- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 1.10.2

Reordene os fatores em $- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 32 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 32 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.4

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - 64 (x \cdot x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 64 (x \cdot x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 64 (x^{1 + 2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.2.9

Mova $- 64$ para a esquerda de $e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Etapa 2.3.2

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}})) - 64 (e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 64$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 4096 (x^{3} (e^{- 32 x^{2}})) - 64 (e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 128 (e^{- 32 x^{2}} (x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Etapa 2.4.2.3

Mova $e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 128 x e^{- 32 x^{2}} - 64 x e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $64 x e^{- 32 x^{2}}$ de $- 128 x e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 192 x e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4096 e^{- 32 x^{2}} x^{3} - 192 e^{- 32 x^{2}} x$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $4096 e^{- 32 x^{2}} x^{3} - 192 e^{- 32 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 192 x e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}] + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 32 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 32 x^{2}$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.7.2

Mova $- 64$ para a esquerda de $e^{- 32 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 64 \cdot e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.9

Multiplique $e^{- 32 x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Reordene os termos.

$- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Reordene os fatores em $- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $e^{- 32 x^{2}}$ de $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $e^{- 32 x^{2}}$ de $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $e^{- 32 x^{2}}$ de $e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2} + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Reescreva $64 x^{2}$ como ${(8 x)}^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- {(8 x)}^{2} + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.4

Reordene $- {(8 x)}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (1^{2} - {(8 x)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 8 x$ .

$e^{- 32 x^{2}} ((1 + 8 x) (1 - (8 x))) = 0$

Etapa 5.2.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$e^{- 32 x^{2}} ((1 + 8 x) (1 - 8 x)) = 0$

Etapa 5.2.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{- 32 x^{2}} (1 + 8 x) (1 - 8 x) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 32 x^{2}} = 0$

$1 + 8 x = 0$

$1 - 8 x = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- 32 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- 32 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- 32 x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- 32 x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 32 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 32 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $1 + 8 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $1 + 8 x$ como igual a $0$ .

$1 + 8 x = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $1 + 8 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 x = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{8}$

Etapa 5.6

Defina $1 - 8 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $1 - 8 x$ como igual a $0$ .

$1 - 8 x = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $1 - 8 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 8 x = - 1$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $- 8 x = - 1$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $- 8 x = - 1$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 5.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 5.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{8}$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- 32 x^{2}} (1 + 8 x) (1 - 8 x) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4096 {(- \frac{1}{8})}^{3} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$4096 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$4096 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4096 (- \frac{1^{3}}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4096 (- \frac{1}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$4096 (- \frac{1}{512}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{512}$ para o numerador.

$4096 (\frac{- 1}{512}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2

Fatore $512$ de $4096$ .

$512 (8) \frac{- 1}{512} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.3

Cancele o fator comum.

$512 \cdot 8 \frac{- 1}{512} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.4

Reescreva a expressão.

$8 \cdot - 1 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 8 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$- 8 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$- 8 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 8 e^{- 32 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$- 8 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 8 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- 8 e^{- 32 (\frac{1}{64})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.12

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.12.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$- 8 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.12.2

Fatore $32$ de $64$ .

$- 8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- 8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- 8 e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.13

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- 8 e^{- (\frac{1}{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.14

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.15

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.17

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.17.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{- 1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.17.2

Fatore $8$ de $- 192$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 (- 24) \frac{- 1}{8} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.17.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot - 24 \frac{- 1}{8} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.17.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 \cdot - 1 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.18

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 9.1.19

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.19.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})}$

Etapa 9.1.19.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})}$

Etapa 9.1.20

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})}$

Etapa 9.1.21

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Etapa 9.1.22

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Etapa 9.1.23

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Etapa 9.1.24

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.24.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}}$

Etapa 9.1.24.2

Fatore $32$ de $64$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.24.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.24.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.25

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.26

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.1.27

Combine $24$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 + 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Some $- 8$ e $24$ .

$\frac{16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

$x = - \frac{1}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{8}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{8}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{8}) = (- \frac{1}{8}) \cdot e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{8^{2}}))}$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (1 (\frac{1^{2}}{8^{2}}))}$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Etapa 11.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Etapa 11.2.2.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 (- 1) (\frac{1}{64})}$

Etapa 11.2.3.2

Fatore $32$ de $64$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Etapa 11.2.3.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2.4

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 8}$

Etapa 11.2.7

Mova $8$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $- \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4096 {(\frac{1}{8})}^{3} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$4096 \frac{1^{3}}{8^{3}} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4096 \frac{1}{8^{3}} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$4096 (\frac{1}{512}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.4

Cancele o fator comum de $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Fatore $512$ de $4096$ .

$512 (8) \frac{1}{512} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.4.2

Cancele o fator comum.

$512 \cdot 8 \frac{1}{512} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.4.3

Reescreva a expressão.

$8 e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$8 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.7

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$8 e^{- 32 (\frac{1}{64})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$8 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.2

Fatore $32$ de $64$ .

$8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.3

Cancele o fator comum.

$8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.4

Reescreva a expressão.

$8 e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.9

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$8 e^{- (\frac{1}{2})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.11

Combine $8$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.12

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Fatore $8$ de $- 192$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 (- 24) \frac{1}{8} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot - 24 \frac{1}{8} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 13.1.13

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Etapa 13.1.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Etapa 13.1.15

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Etapa 13.1.16

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.16.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}}$

Etapa 13.1.16.2

Fatore $32$ de $64$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.16.3

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.16.4

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 13.1.17

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 13.1.18

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.1.19

Combine $- 24$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.1.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Subtraia $24$ de $8$ .

$\frac{- 16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

$x = \frac{1}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{8}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{8}$ na expressão.

$f (\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8}) \cdot e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Etapa 15.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Etapa 15.2.2

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 (- 1) (\frac{1}{64})}$

Etapa 15.2.2.2

Fatore $32$ de $64$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Etapa 15.2.2.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Etapa 15.2.2.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 15.2.3

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 15.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.5

Combine.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1 \cdot 1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $\frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{- 32 x^{2}}$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}})$ é um mínimo local

$(\frac{1}{8}, \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}})$ é um máximo local

Etapa 17