Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique ${(x - 5)}^{5}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

Etapa 1.3.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

Etapa 1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

Etapa 1.3.4

Some $1$ e $4$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

Etapa 1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 {(x - 1)}^{5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

Etapa 1.3.11

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Etapa 1.3.12

Multiplique $5$ por $5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

Etapa 1.4

Fatore $5$ de $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $5$ de $5 {(x - 5)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

Etapa 1.4.2

Fatore $5$ de $25 {(x - 1)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Etapa 1.4.3

Fatore $5$ de $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ .

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 {(x - 1)}^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Etapa 2.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.5.5.2

Multiplique $20$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Etapa 2.6.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Etapa 2.6.3

Multiplique $20$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.6.4

Fatore $20$ de $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Fatore $20$ de $20 {(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.6.4.2

Fatore $20$ de $100 {(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

Etapa 2.6.4.3

Fatore $20$ de $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6