Cálculo Exemplos

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $0.3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.3 x^{1.25}$ em relação a $x$ é $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $1.25$ por $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.5 x$ em relação a $x$ é $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1.5$ por $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $88.6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $88.6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $0.375 x^{0.25} - 1.5$ e $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.375 x^{0.25} - 1.5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $0.375$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.375 x^{0.25}$ em relação a $x$ é $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $0.25$ por $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Etapa 2.3

Como $- 1.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $0.09375$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $0.3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.3 x^{1.25}$ em relação a $x$ é $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $1.25$ por $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.5 x$ em relação a $x$ é $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1.5$ por $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $88.6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $88.6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $0.375 x^{0.25} - 1.5$ e $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Etapa 5.2

Some $1.5$ aos dois lados da equação.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $0.375 x^{0.25} = 1.5$ por $0.375$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $0.375 x^{0.25} = 1.5$ por $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $0.375$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{0.25}$ por $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $1.5$ por $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Etapa 5.4

Converta o expoente decimal em um expoente fracionário.

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Etapa 5.4.1

Converta o número decimal em uma fração, elevando-o à décima potência. Como existem $2$ números à direita do ponto decimal, coloque o número decimal sobre $10^{2}$ $(100)$ . Em seguida, adicione o número inteiro à esquerda do decimal.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Etapa 5.4.2

Reduza a fração.

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Etapa 5.4.2.1

Converta $0 \frac{25}{100}$ em uma fração imprópria.

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Etapa 5.4.2.1.1

Um número misto é uma soma de suas partes inteiras e fracionárias.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Etapa 5.4.2.1.2

Some $0$ e $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $25$ e $100$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Etapa 5.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.2.2.1

Fatore $25$ de $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Etapa 5.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Etapa 5.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Etapa 5.5

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{1}{0.25}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $0.25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.2.1

Fatore $0.25$ de $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.1.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.1.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.1.1.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.1.1.2

Simplifique.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Simplifique $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Divida $1$ por $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Etapa 5.6.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$x = 256$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 6.1.1

Altere $0.25$ em uma fração.

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique por $\frac{100}{100}$ para remover o decimal.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Etapa 6.1.1.2

Multiplique $100$ por $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Etapa 6.1.1.3

Cancele o fator comum de $25$ e $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Fatore $25$ de $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Etapa 6.1.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Fatore $25$ de $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Etapa 6.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Etapa 6.1.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Etapa 6.2

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 6.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 256$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 256$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Eleve $256$ à potência de $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Etapa 9.2

Divida $0.09375$ por $64$ .

$0.00146484$

Etapa 10

$x = 256$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 256$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $256$ na expressão.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $256$ à potência de $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $0.3$ por $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1.5$ por $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $384$ de $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 76.8$ e $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $11.8$ .

$y = 11.8$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ é um mínimo local

Etapa 13