Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Etapa 1.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Etapa 1.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 1.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Etapa 1.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Etapa 1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Etapa 1.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Etapa 1.16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17

Simplifique.

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Etapa 1.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.17.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.17.3.1.1

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.17.3.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.3.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.5

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.2

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.3

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.5

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Etapa 1.17.3.5.1

Reordene $x^{\frac{1}{2}}$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.3.5.2

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.4.1

Multiplique $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.17.4.2

Combine.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.17.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.17.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.17.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.17.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.17.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.6

Combine $- 2$ e $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.7

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.8

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.17.4.9.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.17.5.1

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.5.3.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.5.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.3.1.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.3.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.5.3.2

Simplifique $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.17.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 1.17.7

Multiplique $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.1

Multiplique $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Etapa 1.17.7.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.7.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.7.2.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.17.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Etapa 2.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Etapa 2.9

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1

Multiplique $- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1.1

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.1.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.3

Multiplique $5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.3.1

Combine $5$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.3.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.2

Para escrever $x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.3

Combine $x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.7

Subtraia $3 x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.8.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.8.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.8.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $15 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.8.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.8.2

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.8.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.9

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.10

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.11

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.12

Reescreva $- (x - 15)$ como $- 1 (x - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.1

Reescreva $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ como um produto.

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

Etapa 2.10.4.2

Multiplique $\frac{1}{2 x^{3}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

Etapa 2.10.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

Etapa 2.10.4.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.10.4.5

Multiplique $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Etapa 2.10.4.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Etapa 2.10.4.5.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.10.4.5.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 2.10.4.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 2.10.4.5.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.5.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Etapa 2.10.4.5.6.2

Some $- 1$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Etapa 4.1.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Etapa 4.1.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Etapa 4.1.16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.3.1.1

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.3.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.3.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.5

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.2

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.3

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.5

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.3.5.1

Reordene $x^{\frac{1}{2}}$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.3.5.2

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.4.1

Multiplique $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.1.17.4.2

Combine.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.6

Combine $- 2$ e $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.7

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.8

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.4.9.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.5.1

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.5.3.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.5.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.3.1.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.3.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.5.3.2

Simplifique $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.1.17.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 4.1.17.7

Multiplique $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.1

Multiplique $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Etapa 4.1.17.7.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.7.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.7.2.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.1.17.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 5 = 0$

Etapa 5.3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 6.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.5.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Subtraia $15$ de $5$ .

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9.2

Fatore $2$ de $- 10$ .

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $2$ de $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9.5

Mova $5^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Etapa 9.6

Multiplique $5^{\frac{5}{2}}$ por $5^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Mova $5^{- 1}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 9.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

Etapa 9.6.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Etapa 9.6.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Etapa 9.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Etapa 9.6.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

Etapa 9.6.6.2

Some $- 2$ e $5$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.7

Multiplique $- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.7.2

Multiplique $\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

$x = 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Etapa 11.2.2

Some $5$ e $5$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $\frac{10}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 11.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $\frac{10}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 11.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 11.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 11.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 11.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.5

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{5}$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Etapa 11.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Etapa 11.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Etapa 11.2.5.2.4

Divida $2 \sqrt{5}$ por $1$ .

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $2 \sqrt{5}$ .

$y = 2 \sqrt{5}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ .

$(5, 2 \sqrt{5})$ é um mínimo local

Etapa 13