Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (e^{4 x - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = e^{4 x - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arcsin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{4 x - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(e^{4 x - 1})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{(4 x - 1) \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $e^{4 x - 1}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + 0)$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \cdot 4$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ e $4$ .

$\frac{e^{4 x - 1} \cdot 4}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$

Etapa 4.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{4 e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$