Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.4

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $24 x - 6 x^{2}$ e $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 12 x + 24$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.4

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Some $24 x - 6 x^{2}$ e $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Etapa 4.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = - 6$ , $b = 24$ e $c = 6 y$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $24$ por $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $144$ de $576 + 144 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1

Fatore $144$ de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.3.2

Fatore $144$ de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $144 (4 + y)$ como $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $24$ por $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $144$ de $576 + 144 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.3.1

Fatore $144$ de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.3.2

Fatore $144$ de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $144 (4 + y)$ como $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $24$ por $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $144$ de $576 + 144 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.3.1

Fatore $144$ de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.3.2

Fatore $144$ de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $144 (4 + y)$ como $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Etapa 9.2

Combine os termos opostos em $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

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Etapa 9.2.1

Some $- 24$ e $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $12 \sqrt{4 + y}$ de $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11