Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x - 10 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$10 - 10 (- \sin (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$10 + 10 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 + 10 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Etapa 2.1.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \sin (x)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

Etapa 2.3

Some $0$ e $10 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$10 + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$10 \sin (x) = - 10$

Etapa 5

Divida cada termo em $10 \sin (x) = - 10$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $10 \sin (x) = - 10$ por $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $- 10$ por $10$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 8

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 9

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 9.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

A solução para a equação $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 12.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$10 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 12.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$10 \cdot 0$

Etapa 12.4

Multiplique $10$ por $0$ .

$0$

Etapa 13

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 13.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 13.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ na primeira derivada $10 + 10 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 13.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

Etapa 13.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.2.1.1

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

Etapa 13.2.2.1.2

Multiplique $10$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

Etapa 13.2.2.2

Some $10$ e $7.56802495$ .

$f' (- 4) = 17.56802495$

Etapa 13.2.2.3

A resposta final é $17.56802495$ .

$17.56802495$

Etapa 13.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $10 + 10 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 13.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

Etapa 13.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

Etapa 13.3.2.1.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$f' (0) = 10 + 0$

Etapa 13.3.2.2

Some $10$ e $0$ .

$f' (0) = 10$

Etapa 13.3.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 13.4

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $10 + 10 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 13.4.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

Etapa 13.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.4.2.1.1

Avalie $\sin (7)$ .

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

Etapa 13.4.2.1.2

Multiplique $10$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

Etapa 13.4.2.2

Some $10$ e $6.56986598$ .

$f' (7) = 16.56986598$

Etapa 13.4.2.3

A resposta final é $16.56986598$ .

$16.56986598$

Etapa 13.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = - \frac{π}{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 13.6

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 14