Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 \sin (x) \cos (x) + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 \sin (x) \cos (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$10 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$10 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$10 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.8

Some $1$ e $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.12

Some $1$ e $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 0$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) + 0$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) + 0$

Etapa 1.4.2.2

Some $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 10 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) - 20 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Reordene os fatores de $- 20 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (x) \sin (x) - 20 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Subtraia $20 \cos (x) \sin (x)$ de $- 20 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 40 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $10$ de $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $10$ de $- 10 \sin^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $10$ de $10 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $10$ de $10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.2

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.3

Fatore.

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Etapa 4.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$10 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Etapa 4.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 6

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 6.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 6.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 6.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 6.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 6.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.13

A solução para a equação $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 7

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 7.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 7.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 7.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 7.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 7.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 7.2.16

A solução para a equação $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $10 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 40 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 40 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 40 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.4.1

Fatore $2$ de $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 20 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.4.3

Reescreva a expressão.

$- 20 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 10.5

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 20 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 10.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 20 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 10.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 20 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 10.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 20 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.8.2

Fatore $2$ de $- 20 \sqrt{2}$ .

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.8.3

Cancele o fator comum.

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.8.4

Reescreva a expressão.

$- 10 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Etapa 10.9

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 10.10

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Etapa 10.11

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 10.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 10.13

Some $1$ e $1$ .

$10 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 10.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 10.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 10.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 10.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.14.4.1

Cancele o fator comum.

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 10.14.4.2

Reescreva a expressão.

$10 \cdot 2^{1}$

Etapa 10.14.5

Avalie o expoente.

$10 \cdot 2$

Etapa 10.15

Multiplique $10$ por $2$ .

$20$

Etapa 11

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = 10 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 10 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 2 (5) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = 5 (- \sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.6

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 12.2.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9

Multiplique $- 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.9.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $- 5$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 5 \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.9.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.11

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 10}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.12

Divida $- 10$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 + 1$

Etapa 12.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 40 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 40 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 40 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.3.2

Fatore $2$ de $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 20 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.3.4

Reescreva a expressão.

$- 20 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.4

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 14.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 14.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$20 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.7.1

Fatore $2$ de $20 \sqrt{2}$ .

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.7.2

Cancele o fator comum.

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.7.3

Reescreva a expressão.

$10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 14.8

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Etapa 14.9

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 14.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 14.11

Some $1$ e $1$ .

$10 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 14.12

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.12.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 14.12.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 14.12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 14.12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.12.4.1

Cancele o fator comum.

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 14.12.4.2

Reescreva a expressão.

$10 \cdot 2^{1}$

Etapa 14.12.5

Avalie o expoente.

$10 \cdot 2$

Etapa 14.13

Multiplique $10$ por $2$ .

$20$

Etapa 15

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.3.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (5) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

Etapa 16.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4})) + 1$

Etapa 16.2.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.2

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.3

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 5 \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.5

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.6.7

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.7.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.8

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 10}{2} + 1$

Etapa 16.2.1.9

Divida $- 10$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 5 + 1$

Etapa 16.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 40 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Fatore $2$ de $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 18.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 20 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 18.2.3

Reescreva a expressão.

$- 20 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 18.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 20 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Fatore $2$ de $- 20 \sqrt{2}$ .

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.4.2

Cancele o fator comum.

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.4.3

Reescreva a expressão.

$- 10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 18.5

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Etapa 18.6

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 18.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 18.8

Some $1$ e $1$ .

$- 10 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 18.9

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 18.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 18.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 18.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.9.4.1

Cancele o fator comum.

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 18.9.4.2

Reescreva a expressão.

$- 10 \cdot 2^{1}$

Etapa 18.9.5

Avalie o expoente.

$- 10 \cdot 2$

Etapa 18.10

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$- 20$

Etapa 19

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 10 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 20.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (5) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 20.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 20.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 5 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 1$

Etapa 20.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 5 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

Etapa 20.2.1.4

Multiplique $5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $5$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.2

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{10}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.7

Divida $10$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 5 + 1$

Etapa 20.2.2

Some $5$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 6$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 40 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- 40 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 40 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.3.2

Fatore $2$ de $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 20 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.3.4

Reescreva a expressão.

$- 20 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.4

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 22.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$20 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 22.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$20 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 22.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$20 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.7.2

Fatore $2$ de $20 \sqrt{2}$ .

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.7.3

Cancele o fator comum.

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.7.4

Reescreva a expressão.

$10 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Etapa 22.8

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 22.9

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Etapa 22.10

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Etapa 22.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 22.12

Some $1$ e $1$ .

$- 10 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 22.13

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 22.13.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 22.13.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 22.13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 22.13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.13.4.1

Cancele o fator comum.

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 22.13.4.2

Reescreva a expressão.

$- 10 \cdot 2^{1}$

Etapa 22.13.5

Avalie o expoente.

$- 10 \cdot 2$

Etapa 22.14

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$- 20$

Etapa 23

$x = \frac{5 π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ é um máximo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.3.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (5) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 (- \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

Etapa 24.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4})) + 1$

Etapa 24.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

Etapa 24.2.1.7

Multiplique $- 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 24.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

Etapa 24.2.1.7.2

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

Etapa 24.2.1.7.3

Combine $\frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.7.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.7.5

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.7.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.7.7

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.8.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{10}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.10

Divida $10$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 + 1$

Etapa 24.2.2

Some $5$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 6$

Etapa 24.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 25

Esses são os extremos locais para $f (x) = 10 \sin (x) \cos (x) + 1$ .

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, - 4)$ é um mínimo local

$(\frac{π}{4}, 6)$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{4}, 6)$ é um máximo local

Etapa 26