Cálculo Exemplos

$f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.8.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.12.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 1.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Etapa 1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Etapa 1.15

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.16

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.1

Some $1$ e $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Etapa 1.16.2

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.2.1

Combine $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2.2

Multiplique $2$ por $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2.3

Fatore $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.2.4.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.3

Reordene os termos.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.4.1

Multiplique $x - 3$ por $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.4.2

Mova $12$ para a esquerda de $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.17.5

Para escrever $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.1

Fatore $6$ de $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.1.1

Fatore $6$ de $12 (x - 3)$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.1.2

Fatore $6$ de $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.1.3

Fatore $6$ de $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.4

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.7.4.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.4.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.5

Simplifique $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.8

Some $2 x$ e $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.17.7.9

Subtraia $3$ de $- 6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x - 9$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Some $5$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3.7.2

Mova $5$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.9.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.13.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.13.3

Combine $6$ e $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.1

Fatore $6$ de $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.1.1

Fatore $6$ de $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.1.2

Fatore $6$ de $6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.1.3

Fatore $6$ de $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.3

Multiplique $- 5 x + 9$ por $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.4

Para escrever $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.5

Combine $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.7

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8

Reescreva $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.14.3.8.1

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.8.1.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.1.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.2

Simplifique $3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.5

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.6

Subtraia $5 x$ de $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.7

Some $- 15$ e $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.8

Fatore $2$ de $10 x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.8.8.1

Fatore $2$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.8.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.3.8.8.3

Fatore $2$ de $2 (5 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.4.1

Combine $6$ e $\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.3

Fatore $3$ de $12 (5 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.14.4.4.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.4.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.4.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.5

Reescreva $\frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.6

Multiplique $\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.7

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.4.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.14.4.7.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 4.1.2

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.12.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Etapa 4.1.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Etapa 4.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Etapa 4.1.15

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.16

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.1

Some $1$ e $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Etapa 4.1.16.2

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.2.1

Combine $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2.2

Multiplique $2$ por $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2.3

Fatore $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.2.4.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.3

Reordene os termos.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.4.1

Multiplique $x - 3$ por $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.4.2

Mova $12$ para a esquerda de $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.17.5

Para escrever $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.1

Fatore $6$ de $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.1.1

Fatore $6$ de $12 (x - 3)$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.1.2

Fatore $6$ de $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.1.3

Fatore $6$ de $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.4

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.7.4.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.4.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.5

Simplifique $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.8

Some $2 x$ e $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.17.7.9

Subtraia $3$ de $- 6$ .

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 (5 x - 9) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $6 (5 x - 9) = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $6 (5 x - 9) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $5 x - 9$ por $1$ .

$5 x - 9 = \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$5 x - 9 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$5 x = 9$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $5 x = 9$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $5 x = 9$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x - 1 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{9}{5}, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{9}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (9 - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.4.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{4}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{24}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$24 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.5

Combine $24$ e $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{24 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10

$x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{9}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9}{5}$ na expressão.

$f (\frac{9}{5}) = 18 ((\frac{9}{5}) - 3) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 3 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 15}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.4.2

Subtraia $15$ de $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{- 6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (- \frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $18 (- \frac{6}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$f (\frac{9}{5}) = - 18 (\frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.6.2

Combine $- 18$ e $\frac{6}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 18 \cdot 6}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.6.3

Multiplique $- 18$ por $6$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.9

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.11.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.12

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.13

Multiplique $- \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.13.1

Multiplique $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{108}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Etapa 11.2.13.2

Multiplique $5^{\frac{2}{3}}$ por $5$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.13.2.1

Multiplique $5^{\frac{2}{3}}$ por $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.13.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Etapa 11.2.13.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Etapa 11.2.13.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Etapa 11.2.13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Etapa 11.2.13.2.4

Some $2$ e $3$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.2.14

Mova $108$ para a esquerda de $4^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11.2.15

A resposta final é $- \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{4}}$

Etapa 13.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 9)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (0 - 9)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.1.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 14.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 14.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Etapa 14.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Etapa 14.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.3.1

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$f' (0) = \frac{- 54}{- 1}$

Etapa 14.2.2.3.2

Divida $- 54$ por $- 1$ .

$f' (0) = 54$

Etapa 14.2.2.4

A resposta final é $54$ .

$54$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $1.4$ , do intervalo $(1, \frac{9}{5})$ na primeira derivada $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $1.4$ na expressão.

$f' (1.4) = \frac{6 (5 (1.4) - 9)}{{((1.4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Multiplique $5$ por $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 (7 - 9)}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.1.2

Subtraia $9$ de $7$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{0.4}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2.2

Eleve $0.4$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{0.73680629}$

Etapa 14.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.3.1

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$f' (1.4) = \frac{- 12}{0.73680629}$

Etapa 14.3.2.3.2

Divida $- 12$ por $0.73680629$ .

$f' (1.4) = - 16.28650569$

Etapa 14.3.2.4

A resposta final é $- 16.28650569$ .

$- 16.28650569$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{9}{5}, \infty)$ na primeira derivada $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{6 (5 (4) - 9)}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{6 (20 - 9)}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.1.2

Subtraia $9$ de $20$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2.2

Multiplique $6$ por $11$ .

$f' (4) = \frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{9}{5}$ , então $x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local.

$x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 1$ é um máximo local

$x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

$x = \frac{9}{5}$ é um mínimo local

Etapa 15